“3×8”还是“8×3”？一道小学数学题的大学问

wakeman

最近，一道小学二年级的数学题意外成了社会热点。

这道题你做得对吗？


有人觉得不解：明明3×8和8×3结果一样，为什么要较真？也有人反思：我们是不是过度强调了“标准答案”？


但其实，这个争议背后，藏着数学学习最核心的问题——我们到底有没有真正理解数学的“定义”？


著名数学家伍鸿熙在《数学家讲解小学数学》中指出，许多人的“数学恐惧”正是源于机械刷题、缺乏本质理解，而正确的数学比不正确的要好教得多。

数学
/一本麻省理工博士写给小学生的数学书

关键不在于“答案”，而在于思维方式。




一
乘法的本质：定义才是根本


我们小时候学乘法，总是被教导“谁乘谁无所谓”，但实际上，乘法的本质是“等量相加”。


比如“8×3”，关键不在于“标准答案”，而在于我们将它定义为把8这个数重复加3次，也就是8+8+8。

尽管乘法交换律告诉我们结果不变，但表达的“对象与过程”并不相同。理解了“乘法是加法的简化”，后面就会发现这种“简化”具有巨大的力量。


这里我们先温习一下加法，书中特别提醒我们，关于“数”的一切讨论，其实都离不开数轴这个最基本的模型。当我们用加法不断累加，比如100=10+10+…+10（共10个10），本质上就是在数轴上从0出发，每次跳10格，连续跳10次正好到达100。


于是，从具体的加法和数的递推（比如1000=100+100+…+100），就推导出了（1.1）式，明确了大数之间的递推结构。

而进一步，通过引入乘法，明确乘法是反复做加法，又可以把（1.1）写成（1.3）式。

这么做有什么用呢？你很快就会知道了，它其实为我们提供了向指数、幂这样的抽象概念进发的阶梯：

上面这张图不仅仅是在演算大数，更是以层层递推、代入、归纳的方式，高度体现了数学定义和抽象思维的力量。


通过严密的逻辑推理和递归代入，数学一步步走向高度抽象与统一，从而让复杂的问题变得条理清晰、可控可算，你不能用尚未定义的“神秘概念”或“标准答案”去解释更基础的结论。




二
数学不难：关键是把握精确性


伍鸿熙教授指出，不准确、孤立的数学教学违背了数学的本质，也难以培养学生的逻辑推理能力。在数学学习中，精确性至关重要。精确定义是所有推理和讨论的起点，比如，传统教学常把分数解释为“分饼”或“除法的商”，但这些定义其实都不够严谨。

传统教学解释“分数”，让学生想象把一块饼平均分成若干份，然后拿出其中几份。


当孩子计算55英里的⅔时，不可能把一块饼想象成一条55英里的线段，更何况谁也不知道如何用一块饼除以另一块饼。


正确的教育方法是一开始就定义分数：它是数轴上一个确定集合里的点。一旦我们接受这个定义之后，它将成为今后一切分数讨论的出发点，有关分数的任何问题都需要返回来用定义解释。

其他所有概念都与此类似，例如自然数的带余除法、十进制小数、有理数等。定义完全决定了每个概念都有些什么性质，在这样的数学环境中教学的深远意义是，不管讨论什么问题，学生都能明确地知道自己的立足点所在，他所要学会的知识完全包含在定义中。


数学不是一项观赏性的运动，想学会数学就必须自己动手、亲历亲为。这要求你在掌握了已知概念的定义之后，将与此概念相关的所有事实，按照推理的程序重新编排起来，并追溯到你的出发点。

有人可能会担心，过分强调精确性会削弱数学的直观性和趣味性。然而，事实并非如此。当我们用精确的语言和推理来阐述分数时，学生能够更加清晰地看到数学之美。这种深刻的理解不仅能够激发他们对数学的兴趣和热爱，更能够为他们提供无限的创新空间。




三
化繁为简：就得靠推理证明


有了精确的定义，我们便能借助逻辑推理，一步步揭开数学的神秘面纱。


比如做分数除法时，为什么除以一个分数等于乘以它的倒数？为什么两个负数之积是一个正数？为什么一个分数可以理解为a÷b？为什么每个分数有且只有一个既约分数?……


你可能会被众多的“为什么”搞得头昏脑胀，推理证明则是解答这些问题的珍贵宝藏。数学从根本上讲是抽象的无形的概念，学生则需要有个可信的人来引导他们拨开抽象的迷雾，当学生看到老师能够脚踏实地地明确给出每一步推导的理由时，他们就会毫不犹豫地信任他。这样，学生便有可能将数学学习下去。

比如比较1058和874的大小时，虽然直觉可以得出结果，但依赖直觉并非学习数学的好方法。伍教授通过数轴耐心讲解：1058比874大，因为它位于数轴上874的右侧，且大于999。大于号和小于号具有传递性，这是数学中的重要概念。

要让孩子明白，“大于”的定义正是精确地表述了日常生活中“……比……多”的概念。

通过抽象地推理和理解，学生能够看到分数乘法不是具体的物理操作，如“分蛋糕”之类，这为日后的理论阶段打下基础。


推理证明的过程，不仅有助于提升学生的逻辑思维、问题解决能力和批判性思维等关键能力，更使其学会了如何在复杂的信息中抽丝剥茧，找到问题的本质，加深对数学概念的理解并增强其数学素养。

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＂“3×8”还是“8×3”？一道小学数学题的大学问＂——区别太大了——3个领导每人发8元奖金——8个组员每人发3元奖金

颠颠

还专家，不知道乘法交换律吗，还是说你们教改的时候把这玩意儿给消灭啦。

kingfirefly

每一代人在接受基础教育的时候都被强制要求按照固定的思维解答问题，非我族类，就是错的；这一代接受固定思维教育长大后，在初中和高中，又被要求训练发散思维，进行创造性的学习。对不起，已经不会了。

standme

3个8是多少？ 8个3是多少？数据一样但问话不一样。