10÷3除不尽，但10米的绳子却能三等分？数学说“除不尽”，现实却“分得开”：我们该如何理解这个矛盾？

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一个让很多孩子困惑的问题 
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]上数学课时，总有学生举手问：
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]老师，10除以3等于3.3333……无限循环，除不尽，可生活中，我们为什么可以把10米长的绳子平均分成三段呢？ 
这个问题背后有一个巨大的逻辑漏洞没有解决：数学世界和现实世界，怎么统合？  
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[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]10÷3，是数学世界的"纯粹逻辑" 
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]先回到数学本身。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]10÷3 = 3.3333……无限循环，这是数学上的表达。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]在数学世界里，数字是抽象的、绝对的、纯粹的。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]3就是3，π就是π，不管你算到小数点后多少位，它都是它自己。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]数学追求的是"逻辑上的精确"，而不是"现实中的可实现"。 
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]所以，10÷3除不尽，不是问题，而是数学的特征、数学的逻辑——数学是由抽象概念和逻辑组成的。

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[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]10米的绳子，是现实世界的"近似模型"
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]再来看10米的绳子。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]用尺子大致一量，长10米。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]再精确一点呢？

• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]绳子末端的毛边，算不算长度？
  
• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]绳子有没有完全绷直？
  
• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]有没有轻微弯曲？
  

[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]如果我们要求更精确，上更厉害的测量工具，比如用激光测距仪量。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]结果可能是10.023米，或者9.9987米……
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]再进一步：

• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]如果你用显微镜观看，会发现，绳子的边界是模糊的；
  
• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]绳子表面有无数微小的凸起，就像分形结构；
  

• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]如果把这些细小的分形都算上，那绳子的长度就是无穷的……
  

[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]糟糕，我们越来越量不清楚了——就像一条大河长6000km，然后你把河流的分形也算上……算不清楚。
 该图片属于AI生成

[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]你看，绳子本身不完美，它并不是一条逻辑上的线条，而是一团复杂的分子集合。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]如果在现实世界中，我们用数学逻辑，那么我们没法生活了。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]因此，现实世界中不存在"精确的10米"，只有"够用的10米"。[color=oklch(0.147 0.004 49.25)] 
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[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]建模思维，数学和现实的"翻译器" 
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]就如上面所说，大自然总存在分形：一棵大树，分成3个大树枝，每个大树枝再分成3个小树枝……无限分下去。 
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]从数学角度看，如果无限细分下去……
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]有必要吗？

[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]我们不需要深入到这个领域去测绳子，我们需要的是：找一个"够用"的模型。

• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]买菜的时候，10斤就是10斤，甚至是10.5斤，10块钱3斤……
  
• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]测量的时候，100米就是100米，很多时候我根本不需要精确到2位小数，一位就够了。
  
• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]即便是做芯片的时候，精确到纳米也可以了……
  

[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]不同的场景，用不同的模型。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]这就是建模思维的核心。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]数学家终其一生的努力，就是为了找到更多的数学模型，来适应不同的现实、不同的计算需求。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]10÷3除不尽，是数学问题；绳子可以三等分，是现实问题。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]两者在各自的体系里都是成立的。 
 该图片属于AI生成

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[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]回到问题：绳子为什么能三等分？
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]简单来说： 绳子能分成三等份，不是因为数学允许，不是数学上可以发生，而是因为我们需要给它三等分。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]现实中，"三等分"从来不是"精确的10÷3"，而是"足够接近10÷3的现实操作"。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]我们用的工具是剪刀，而不是计算器。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]剪刀切下去的那一刻，"三等分"就完成了——它可能不是数学上的精确3.3333……米，但它是现实中"够用"的3.3333……米。 
写在最后 
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]数学不是僵化的公式，而是理解世界的工具、指导世界的工具。
[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]但数学是正确，是逻辑，它反映现实，而现实又不能完全按照它来。

• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]10÷3除不尽，是数学世界的逻辑和规则；
  
• [color=oklch(0.147 0.004 49.25)]绳子能三等分，说明现实世界有够用的模型。
  

[color=oklch(0.147 0.004 49.25)]所谓数学思维，是用数学思考生活，但又要考虑具体现实——正所谓数学建模。