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定理2 若a1,a2,…,an是不全为零的整数,则a1,a2,…,an与|a1|,|a2|,…,|an|有相同的公因数,且(a1,a2,…,an)=(|a1|,|a2|,…,|an|)。证明 设p|ak(k=1,2,3,…,n),则存在n个整数qk,使得ak=pqk·所以∣ak∣=∣pqk|=p(±∣qk|),所以p∣|ak|(k=1,2,3,…,n)。即a1,a2,…,an的任意公因数是|a1|,|a2|,…,|an|的公因数。反之,同理可证|a1|,|a2|,…,|an|的任意公因数也是a1,a2,…,an的公因数。故a1,a2,…,an与|a1|,|a2|,…,|an|有相同的公因数·当然,其中最大者也相同,即(a1,a2,…,an)=(|a1|,|a2|,…,|an|)。 |
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