北大南开数学家解决著名“十杯马天尼”问题：更统一、更优雅的证明

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金磊 闻乐 发自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI

困扰数学和量子力学交叉领域长达半个世纪的难题，因为北大、南开数学家的参与，终于是有了较为完美的答案。
这个难题有个非常有趣的名字，叫做“十杯马天尼”（The Ten Martini Problem）。
之所以叫这个名字，是因为数学家马克·卡茨（Mark Kac）在1981年表示，谁能解决这个问题，就请对方喝十杯马天尼。

△图源：QuantaMagazine

若是简单来描述，十杯马天尼问题是关于量子系统能谱结构的一个猜想，它断言“几乎Mathieu算子”（Almost Mathieu operators）在所有无理数频率下的能谱是Cantor集。
其中，“几乎Mathieu算子”是位势为余弦函数的特殊薛定谔算子；Cantor集，则是一种分形结构（看起来像“尘埃”，没有区间，只有无限分散的点）。
虽然在2004年至2005年期间，数学家Avila和Jitomirskaya最终给出了完整证明，即“几乎Mathieu算子”的能谱就是Cantor集（Avila后来也因此获得了菲尔兹奖）。
但随着两位中国数学家（北京大学葛灵睿、南开大学尤建功）加入Jitomirskaya的研究，他们进一步推广了这个结论：
不仅仅是“几乎Mathieu算子”，在更大类的“准周期算子”（quasiperiodic operators） 下，也成立类似的十杯马天尼性质，即能谱是Cantor集。

他们的工作不仅为这个经典问题提供了一个前所未有地优雅、统一的证明，更重要的是，将结论从一个高度理想化的模型推广到了更广泛、更接近真实物理系统的场景中。
但要完整了解关于十杯马天尼的故事，我们还需要追溯到1974年。
从“计算器上的蝴蝶”诞生的物理学猜想

故事的起因还要从一个叫做道格拉斯·霍夫斯塔特（Douglas Hofstadter）的人说起。
当时，他还只是一名在美国俄勒冈大学攻读博士学位的物理系学生，那一年，他跟随导师前往德国雷根斯堡进行学术休假，并加入了一个由顶尖理论物理学家组成的研究小组。
（PS：五年后，他将因撰写《哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成》一书而荣获普利策奖，成为一位享誉世界的思想家。）

小组的核心议题是一个基础而又棘手的量子问题——
当一个电子在规则排列的晶体（晶格）中运动，并且同时受到一个垂直磁场的作用时，它的能量会呈现出怎样的分布状态？
这个问题在物理学上被称为“布洛赫电子在磁场中的能谱问题”。小组的物理学家们普遍采用的是严谨而抽象的定理推演，试图从理论上直接导出最终结论。
但霍夫斯塔特发觉自己很难跟上同僚们高深的数学思路，他回忆道：

从某种程度上说，我的幸运在于我跟不上他们。他们在证明定理，但那些定理似乎与问题的本质无关。

于是，霍夫斯塔特决定另辟蹊径，采取一种在当时看来颇为“笨拙”的实验性方法：数值计算。
他找到了一台惠普9820A台式计算器，这是一个重达近40磅、功能介于计算器和早期计算机之间的设备。
他的计划是，不去直接挑战最困难的理论情况，而是从简化的问题入手，通过大量的计算来“看见”答案。
描述这一物理系统的核心工具是量子力学的基石——薛定谔方程。
在这个特定问题中，方程解出的“能谱”，即电子被允许拥有的能量值的集合，其形态由一个关键参数α决定。这个参数α正比于磁场强度与晶格单位面积的乘积，它捕捉了外部磁场对电子运动影响的本质。
理论上，当α是一个有理数时，系统具有周期性，虽然计算繁琐，但原则上是可解的；然而，当α是一个无理数时，系统不再具有简单的周期性，变成所谓的“准周期”系统，其求解在当时是一个巨大的理论障碍。
霍夫斯塔特没有像同事们那样一头扎进无理数的理论困境中。他选择从已知的有理数情况出发。他将计算器编程，让它自动计算出一系列有理数α值所对应的能谱。
每天晚上，他设定好一个α值，然后让计算器彻夜工作；第二天清晨，他会看到一卷长长的纸带从机器中伸出，上面打印着该α值下所有允许的能量值的位置。

△图源：QuantaMagazine

他将这些数据点费尽心思地用笔绘制在了一张巨大的坐标纸上。这张图的横轴代表电子的能量，纵轴代表参数α；每一个α值对应图上的一条水平线，线上被标记出的点，就是电子在该磁场强度下可以存在的能级。
随着他绘制的有理数α越来越密集，一个令人叹为观止的图形逐渐浮现。
在那些被允许的能级（黑点）之间，存在着大片的“禁带”（空白区域），而这些空白区域的形状惊人地酷似一只展开翅膀的蝴蝶。
更奇妙的是，这只“蝴蝶”呈现出清晰的分形特征：如果你放大蝴蝶翅膀的任何一小部分，会发现它的图案结构与整个蝴蝶的形态极其相似，这种自相似性可以无限延伸下去。
这张图后来被科学界亲切地称为“霍夫斯塔特蝴蝶”。

△图源：QuantaMagazine

他的同事们一开始对这种“苦力活”不以为然，甚至他的导师也批评这是“数字迷信”，并扬言要取消对他的资助。但霍夫斯塔特坚信，这幅美丽的图形背后隐藏着深刻的物理和数学真理。
通过观察图形，他提出了一个惊人的猜想。
他注意到，当作为输入的有理数 α=p/q 的分母q越来越大，即分数越来越复杂，越来越逼近一个无理数时，对应的能谱带会分裂成越来越多的子带，中间的缝隙也越来越多。
它整体结构在视觉上无限趋近于一个著名的数学对象——也就是我们开头提到的，Cantor集。
Cantor集是一个经典的数学分形，可以通过一个简单的迭代过程构造：从一条线段开始，去掉其中间的三分之一，剩下两条较短的线段；然后，再分别去掉这两条线段各自中间的三分之一；如此无限重复下去。
最终剩下的将不再是任何线段，而是一组无穷多个离散的点，像尘埃一样分布在原来的线段上。

△图源：QuantaMagazine

霍夫斯塔特由此推断：当参数α是真正的无理数时，电子的能谱将不再是连续的能带，而是一个完美的、具有无限精细结构的Cantor集。
用“十杯马天尼”来悬赏

霍夫斯塔特的猜想如同一颗投入平静湖面的石子，在数学物理学界激起了层层涟漪。
几年后，两位杰出的数学家马克·卡茨（Mark Kac）和巴里·西蒙（Barry Simon）在研究一类被称为“概周期函数”的数学对象时，独立地从纯数学的角度得出了与霍夫斯塔特完全相同的结论。
这就让猜想的可信度大大增加，但严格的数学证明仍然遥不可及。问题的难度之大，却激发了卡茨的幽默感。
在1981年的一次美国数学学会年会上，他半开玩笑地公开宣布，愿意为任何能够严格证明此猜想的人献上十杯马天尼。
西蒙随后在各种学术场合推广了这个悬赏，使得“十杯马天尼问题”声名远播，成为了衡量准周期系统研究进展的标尺。
在接下来的二十多年里，一代又一代的数学家向这个难题发起冲击。
他们不断发展出新的数学工具，成功地证明了对于“某些”特定类型的无理数（例如，那些可以用有理数很好近似的“刘维尔数”或性质相反的“丢番图数”），猜想是成立的。
然而，一个能够覆盖所有无理数、不留任何死角的通用证明，始终未能出现。

△图源：QuantaMagazine

直到2005年，僵局终于被打破。
数学家Svetlana Jitomirskaya与当时年仅24岁的天才数学家Artur Avila合作，发表了一篇里程碑式的论文，宣告“十杯马天尼问题”已经被解决了。
他们自己也愉快地兑现了那十杯马天尼的承诺，举杯庆祝这一重大胜利。
然而，这个证明在庆祝的香槟气泡散去后，却显露出其内在的“不完美”。它更像是一个“拼凑的被子”（a patchwork quilt），而非一件浑然天成的艺术品。
因为他们的证明为了覆盖所有无理数，依赖了多种截然不同的、甚至有时是相互矛盾的技术手段：对于性质“温和”的丢番图数，他们采用一套分析方法；而对于性质“狂野”的刘维尔数，则不得不求助于另一套截然不同的代数工具。
这就让整个证明过程显得复杂而缺乏内在的统一美感。

△Svetlana Jitomirskaya

更关键的是，这个证明存在一个根本性的局限：它严重依赖于霍夫斯塔特最初研究的那个模型的特殊对称性，即所谓的“几乎Mathieu算子”（Almost Mathieu Operator）。
这个模型是一个高度理想化的数学对象，就像几何学中的完美圆形。
但在现实世界中，物理系统远比这复杂：晶格可能存在缺陷，磁场也并非绝对均匀。当人们试图将这个证明推广到更贴近现实、对称性被破坏的模型时，整个证明框架便轰然倒塌。
这让数学家们陷入了新的困惑。难道“霍夫斯塔特蝴蝶”和Cantor集只是在那个完美数学模型中才存在的巧合吗？
但戏剧性的一幕发生了，物理学的进展再次推动了数学的思考。
2013年，哥伦比亚大学的物理学家们利用两层石墨烯材料，在强磁场下进行实验，竟然在实验室中清晰地观测到了“霍夫斯塔特蝴蝶”的能谱结构！
这一发现震撼了学界，它雄辩地证明了这种奇特的分形结构并非数学家的空中楼阁，而是一种普遍存在的、稳健的物理现象。
Jitomirskaya坦言：“这突然让问题从数学家的想象变成了实际的东西，这变得非常令人不安。”
物理现实迫切需要一个更强大、更具普适性的数学理论来给予解释。
中国数学家破局了

2019年，中国数学家葛灵睿加入到Jitomirskaya的团队，与南开大学数学教授尤建功一起改进Avila的理论。

△葛灵睿（左）和尤建功（右）

这一次，他们不再只盯着“几乎Mathieu算子”，而是定义了一类更广泛的Type I算子（I型），这些Type I算子是通过T-加速度界定的。
首先，数学家们给Lyapunov指数（描述准周期算子对应“解的增长/衰减速度”的物理量）加了一个调节参数，这个调节参数会引起Lyapunov指数数值的变化，每段变化之间会有一个转折点。
而T-加速度就可以简单理解成Lyapunov指数在第一个转折点附近的变化速度。具体定义如下：

而对于某个能量E，如果它对应的T-加速度等于1，那么就说这个E是Type I能量。对整个Mathieu算子来说，如果算子里所有能量E的T-加速度都等于1，那这个算子就是Type I算子。
葛灵睿、尤建功团队证明的核心结论就是：只要是Type I算子，无论频率是哪个无理数，它的频谱一定是Cantor集。

证明的关键思路是利用对偶性和统一方法，具体表现在：

• 利用目标算子的对偶算子反推原算子的频谱性质，降低证明的困难性；
  
• 还要实现能够用稳定的统一方法来完成对这一类算子的证明。
  

为了证明Type I算子的频谱是Cantor集，团队还开发了3个可独立使用的数学工具：

将只适用于所有Lyapunov指数都为0情况下的Kotani理论，扩展到部分Lyapunov指数为0，部分为正的情况；

证明了PH2算子（Type I算子的对偶算子就是PH2算子）的点谱是简单的：即每个特征值只对应一个独立的解；

将几乎Mathieu算子证明过程中用到的，只适用于丢番图频率的Puig论证扩展到全频率适用。
过去，在不同无理数频率下证明该问题要用不同的方法，这次，他们通过Type I算子和3个工具搞出了一套统一的证明方法，直接将之前Avila对于不同算子、特例算子的拼凑证明扩展到了一大类算子的单一证明上。
并且，Type I这类算子包含了几乎Mathieu算子的微小变形、超临界广义Harper模型等，困扰数学家和物理学家半世纪之久的十杯马天尼问题由此跨越了极大的一步。

△图源：QuantaMagazine

除了十杯马天尼核心问题之外，团队还有一些额外贡献。
首先，他们证明了十杯马天尼问题的稳定性，即如果一个Type I算子满足任意无理数频率下的频谱都是Cantor集，那么该算子附近的微小变形算子也满足，这这种稳定性对实际应用有着重要意义。
其次，这项工作还推进了干燥十杯马天尼问题，这是比原问题条件更严格的要求：需要频谱的间隙不能闭合，全是开放的。目前团队证明了几乎Mathieu算子在某些条件下满足该条件，为后续研究打下了基础。
这些结果说明霍夫斯塔特蝴蝶并不是巧合，也证明了数论在物理学研究中有着重要作用。研究团队表示：

我们预测，这只是我们用新方法所能解决的问题的起点。

这项工作的核心贡献者葛灵睿也说：

我们发现的这个奥秘就像黑夜里的灯塔，指引我们走向正确的方向。

One More Thing

有意思的是，这项突破背后的两位中国数学家是师徒关系，虽然现在一个在南开，一个在北大，但渊源伏笔却在南京大学。
尤建功教授现在任职南开大学陈省身数学研究所，研究方向聚焦于动力系统。但实际上从1991年起，尤教授都在南京大学任职，直到2016年加盟南开陈省身数学研究所。
另一位数学家葛灵睿，本硕博均就读于南京大学，他当时的指导老师就是尤建功教授。
他本人透露过，在读大四时，尤老师推荐他读了一本遍历薛定谔算子谱理论的入门书。也正是这个机缘巧合，促使本在纠结研究方向的葛灵睿毫不犹豫地选择了动力系统中算子谱理论与数学物理的交叉领域。
2022年，葛灵睿加盟北京大学独立设置的北京国际数学研究中心，现任助理教授。而且他到北大后，就明确表示希望能在北大开设遍历薛定谔算子谱理论这门课程，吸引更多的年轻人投入到这个领域的研究中。
真是学无南北，穷尽西东～
参考链接：[1]https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/[2]https://arxiv.org/abs/2308.09321[3]https://scholar.google.com/citations?user=T_jE_YAAAAAJ&hl=en

mulunbo

数学家：一杯马天尼，一杯诺贝尔

qinggonghui

感谢分享

yellow君

精品文章，优秀！

幸福猪猪

先祝贺下了