三角学只用来测量？太天真！从音乐到AI，这门学科藏着想不到的跨界应用

镜花水月

对普通人来说，三角学最常见的应用是计算各种测量相关的问题。

▲单位圆中的正弦函数和余弦函数但实际上，三角学的应用远比我们想象的广泛和深入，例如在音乐理论中的应用；其他一些用途则更具技术性，比如在数论中的应用。傅里叶级数和傅里叶变换等数学分支，都高度依赖于三角函数的知识，并广泛应用于包括统计学在内的多个领域。
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托马斯·潘恩的赞誉

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美国革命家与启蒙思想家托马斯·潘恩在其著作《理性时代》的第十一章中曾这样描述三角学：
人类预测日食或其他天体运行的科学原理，核心藏在一门叫 “三角学” 的学问里 —— 简单说，就是研究三角形特性的科学。这门学问应用在不同领域，会有不同的名字：

• 当它用来探索星空，就成了天文学；
  
• 当它指引船只在海上航行，就成了航海学；
  
• 当它辅助用直尺和圆规画图，就融入了几何学；
  
• 当它参与建筑的平面设计，就成了建筑学的工具；
  
• 当它用来丈量地球表面的土地，就成了土地测量学。
  

说到底，三角学就像科学的灵魂，它承载着人类所说的 “数学证明”，是永恒的真理。而它的用途之广，至今仍有无数种的可能等待我们去发现。
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历史上的重要应用

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印度大三角测量

从 1802 年到 1871 年，英国在印度曾开展了一项浩大的工程——印度大三角测量，目的是高精度测绘整个印度次大陆。
数学家和地理学家们从沿海的基线开始，用三角测量法一步步“铺”满了这个国家的广袤土地。这项工程最亮眼的成就之一，就是测出了喜马拉雅山脉的高度，确认了珠穆朗玛峰确实就是地球的最高峰。
在乘法运算中的历史用途

1614 年对数发明前的 25 年里，“三角和差化积法”是当时唯一能快速估算乘积的通用方法。它的巧妙之处在于：利用三角恒等式，把角度和与差的三角函数，转换成这些角度各自三角函数的乘积——就这么一变，复杂的乘法问题就成了简单的加减法。
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近现代应用

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▲国际空间站上的加拿大臂 2 号（Canadarm2） 机械臂通过控制其关节角度进行操作。计算宇航员在机械臂末端的最终位置需要反复使用这些角度的三角函数。三角学遍布了科学的各个领域，比如下面这些：

• 物理工程领域：声学、建筑学、天文学、制图学、土木工程、地球物理学、电气工程、电子学、测量学
  
• 科学研究领域：结晶学、机械工程、医学成像、海洋学、光学、药理学、地震学
  
• 数学统计领域：数论、概率论、统计学
  
• 感知与艺术：视觉感知、音乐理论
  

不过要说明一点，上述领域都涉及了三角学，不代表必须先精通三角学才能入门。但三角学知识的欠缺，有些内容就肯定没法完全弄懂。比如一位音乐教授可能不懂数学，却多半知道——毕达哥拉斯是最早为音乐的数学理论添砖加瓦的人。
有些领域里，三角学的应用很容易理解。比如航海和土地测量中，有时用的三角学知识特别基础，初级课本里就能找到。
在音乐理论中，三角学的应用能追溯到毕达哥拉斯的研究：他最早发现，两根弦被拨动时，如果长度是某个共同长度的小整数倍，声音就会很和谐。而振动的弦，形状和正弦函数图像惊人地相似——这可不是巧合。
海洋学里也一样：有些波浪的形状和正弦函数图像像“双胞胎”，背后藏着必然联系。在气候学、生物学、经济学等领域，还有很多季节性的周期现象，研究它们时，总少不了正弦、余弦函数的周期性帮忙。
傅里叶级数

不少领域对三角学的应用更“高级”，复杂到一篇文章说不完。这些应用常和“傅里叶级数”有关——这是以 18 到 19 世纪法国数学家、物理学家约瑟夫·傅里叶命名的概念。

傅里叶级数的应用范围广得惊人，尤其在涉及季节性周期现象和波形运动的领域。比如辐射、声学、地震学、无线电波调制、电力工程等，都少不了它。
傅里叶级数是一种无穷级数，长这样：
式子里的每个方框（）都代表不同的数字（也就是系数），整个级数是无穷多个项加起来的结果。傅里叶最早用它研究热流和扩散现象——比如把方糖放进一加仑水里，糖会慢慢散开；污染物在空气中扩散；或者任何溶解物在液体中散开的过程，都能用它分析。
傅里叶级数还能用到看似和波动无关的领域。比如数字压缩技术：图像、音频、视频数据能被压得更小，方便通过电话、网络、广播传输，这些技术背后就有它的功劳。其他应用还有几何数论、等周问题、随机游走的重现、二次互反律、中心极限定理、海森堡不等式等。
傅里叶变换

傅里叶变换比傅里叶级数更抽象，它用积分代替求和，应用领域同样广泛。很多自然规律可以表述为“量的变化率和量本身相关”，比如人口变化率，可能和当前人口数量、人口与环境承载能力的差额都成正比——这就是“微分方程”。
如果想把人口表示成时间的函数，其实就是在“解”这个微分方程。傅里叶变换能把某些微分方程变成代数方程，而代数方程的解法早就被人们掌握了。它的用途太多了：几乎所有提到“频谱”“谐波”“共振”的科学场景，都和傅里叶变换或傅里叶级数脱不了干系。
统计学与心理学

智商（IQ）分布常被说成“钟形曲线”：曲线下约 40%的面积在 100 到 120 之间，对应着约 40%的人 IQ 得分在这个区间；近 9%的面积在 120 到 140 之间，对应着约 9%的人得分在此范围，以此类推。
很多事物都遵循这种“钟形曲线”，比如物理测量中的误差。为什么它这么普遍？背后的理论原因就和傅里叶变换有关，自然也离不开三角函数。这只是傅里叶变换在统计学中的应用之一。此外，统计学家研究季节性周期时，也常常用傅里叶级数表示周期规律。
数论

三角学和数论之间，藏着一层微妙的联系。简单说，数论研究的是数的“性质”，而不是“大小”。
看一组分数：
只保留那些已经是最简形式的分数，剩下这些：
再用三角学算个和：
结果是 -1。这是因为 42 有奇数个不同的质因数（42=2×3×7），且没有重复。这个和其实就是 42 的莫比乌斯函数值——如果一个数有偶数个不同的质因数，和为 1；如果有重复质因数（比如 60=2×2×3×5），和为 0。这个例子告诉我们，傅里叶分析也能用到数论里。
求解非三角方程

用三角学还能解很多种方程。
比如常系数线性差分方程或线性微分方程，它们的解可以用特征方程的特征值表示。如果有些特征值是复数，这些复数项能换成实变量的三角函数——这说明变量会呈现振荡行为。
再比如三次方程，如果有三个实数解，它的代数解里会有复数的立方根，用起来不方便。但有一种替代解法：用实变量的三角函数表示，处理起来简单多了。

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来源：遇见数学

编辑：Decoherence

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不代表中科院物理所立场

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