当磁铁遇到镜子时，有趣的事发生了

神隐之左手

闲来无事，让GPT-4o 画了一幅图，发送信息如下：

创作一张图片，一根长条形的磁铁，沿竖直方向放置，上半部是红色，下半部是蓝色，上半部标一个“S”，下半部标一个“N”，代表南极和北极，在磁铁右边平行放置一面镜子，镜子里有磁铁的像。

等待数秒，它给出的图像如下：

诸君觉得有问题没？
它基本上是按照平面镜成像的规律来画图的。
不过，但镜子中的那个N如果去掉更好。
首先，这个N应翻转为И！另外，按提示语的意思——下半部标一个“N”，磁铁正对镜子的那一面应该没有标字母N，因此镜子里的磁铁的正面也应该没有标字母才对。
倘若磁铁正对镜子的那一面也标有字母S和N，那么镜中像的上部应也有字符Ƨ和И才对。
总之，ChatGPT的这个图画的得确不是很令人满意。
于是，我又把提示语改成纯问答形式再发给ChatGPT。
请问：一根长条形的磁铁，竖直放置，上端为北极，下端为南极，右边竖直放置一面镜子，磁铁在镜子中的像也是一根磁铁，这个磁铁的哪一端是北极？
ChatGPT的回答是：

根据镜像成像原理，镜子中的像是左右对称的，但并不会上下颠倒。因此，若一根竖直放置的磁铁上端是北极，下端是南极，其在镜中的像只会左右颠倒，不会上下翻转。

因此，镜像中的磁铁上端还是北极，下端是南极。
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呃，这次就不对了！
磁铁的上端是北极，说明磁感应强度B的方向向上。
根据安培分子环流的假说，磁铁内部的环电流与B成右手螺旋关系，所以其内部的环电流是下图中左边这个样子。显然，环电流在镜子中的像是下图中右边这个样子，它反向了，所以磁场B也就反向了。

此时，有人要反驳了：磁性不需要用环电流来解释，所以上述解释不对吧！

那好吧，我们再换一种方式来解释。
无论如何解释磁性，磁感应强度总可用一种平面内的转动的量来描述，具有这种特点的矢量其实不是真正的矢量，而是所谓的赝矢量。
例如角速度ω，角动量L和磁感应强度B都是赝矢量。赝矢量总是可以看作两个矢量的叉乘，例如角动量就是如此

而按照毕奥-萨法尔定律， 磁感应强度B也是两个矢量的叉乘。
有了对赝矢量的这种理解，我们现在换一种方法来解释上面镜中的磁感应强度B为什么要反向。
我们先来看镜子里的矢量是什么样。
假想你手握一根箭，站在镜子面前，当你让箭头垂直指向镜面时，镜子里的箭头将指向你。

而当你让箭头平行于镜面时，镜子里的箭头也朝同一方向。

箭头就代表一个矢量，这说明矢量的镜面反演规律为：平行与镜面的分量不变，垂直于镜面的分量反向。
反向在数学上就是反号，由于赝矢量是矢量的乘积，两个矢量都反号，乘积当然就不反号了。
所以，赝矢量的镜面反演规律是：与镜面平行的分量反向，而与镜面垂直的分量不变。
如下图所示，上部是矢量的镜面反演，下部是赝矢量的镜面反演。

既然磁感应强度B是赝矢量，上图中磁铁的B是平行于镜面的，所以镜子里的B的方向应该反向。
看到了吧，这种解释的结论与分子环流的解释的一致。
这说明，镜子里的磁铁的下端是北极，上端是南极。
然而，又有人要反驳了：镜子里不是应该用左手定则吗？这样的话，上面的结论就不对啊！

呃，这个问题问得有点意思，咱们来仔细研究一下。
一般约定，用左手定则还是右手定则，是由坐标系的手性决定的。
那什么是坐标系的手性呢？
以直角坐标系为例，它的手性就两种——左手的和右手的，如下图所示，左边的是左手系，右边的是右手系。

看不明白？很简单，用你的某只手握住z轴，让大拇指指向z轴正向，如果另外4个手指从x轴转向y轴，那么该坐标系的手性就对应那只手。
一般情况下，物理中默认使用右手系，正是这个原因，矢量叉乘采用右手法则判断方向，如下图所示。

那么镜子里的坐标系是左手系还是右手系呢？
这事又得从坐标变换的两种方式说起。

任何类型的坐标变换，都有主动（active）和被动（passive）两种方式。
主动变换是指，矢量本身变化，坐标系不动，右手系还是右手系，所以在矢量计算和方向判断时，默认仍使用右手定则。

被动变换是指，矢量本身不动，坐标系变化，会导致矢量的表示发生改变。

对被动变换来说，由于坐标系变了，故其手性可能会变——注意是“可能”会变，而非一定会变。如上图中属于坐标转动，不改变坐标系的手性。
那么，当执行被动变换时，哪些类型的坐标变换，会改变坐标系手性呢？

常见的有两个——镜面反演和宇称变换。
对镜面反演，如果是被动变换，垂直于镜面的轴反向，平行于镜面的轴不变，如下图所示。显然，坐标系的手性就变了——左边是左手系，右边是右手系。

对宇称变换，如果是被动变换，三个坐标轴都要反向，如下图所示，显然，坐标系的手性也变了——左边是左手系，右边是右手系。

主动变换比较直观，数学家默认使用主动变换，但对物理学家来说，到底使用主动还是被动方式，需要根据具体的物理问题来定。
现在的问题是，照镜子的行为，属于主动变换还是被动变换呢？
理论上，任何变换，包括镜面反射和宇称变换可以是主动的，也可以是被动的。例如，我们可以想象有一个镜中的世界，那里的人习惯用的坐标系是左手系，叉乘用左手定则。
但在实际的操作中，无论是照镜子或镜像实验，显然是坐标系没动，物体或系统调转了方向，所以应该是主动变换。
因此，镜子里还是右手系，所以仍然用右手定则。

综上，当磁铁平行于镜面放置时，镜中的磁铁的南北极调转了；而当磁铁垂直于镜面放置时，镜中的磁铁的南北极保持不变，如下图所示。

根据平面镜成像的规律，物像的所有的外部和内部结构必须呈完美的镜像对称，而不能出现任何破缺！
为什么必须完美对称？因为除了弱作用之外，宇称是守恒的！
讲到此处，温馨提示一下：
关于宇称守恒的事，请参看之前的文章《把通俗进行到底：什么是宇称？宇称不守恒到底是什么意思？》和《赝标量：验证宇称不守恒实验的观测目标！》。
我们将磁铁的两半的颜色顺序，从红→蓝，看作是一个向量，很显然它是一个物理中的真实矢量，如下图所示。这相当于把磁铁的外表抽象为一个矢量。

为了完美成像，磁铁外表结构——颜色，要按矢量的镜像反演规则成像，而磁场的内部结构——磁性，要按赝矢量的镜像反演规则成像。
这样一来，有趣的事发生了——
当磁铁照镜子时，表面和内部之间的关系错位了！
镜里的和镜外的磁铁，同色的极并不是相同的磁极，只有不同色的极才是相同的磁极。

如果约定红色代表北极，蓝色代表南极（一般就是这样约定的），那么在镜子里，这个约定要反过来——红色代表南极，蓝色代表北极。

--END--

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