下雨天，慢走和快跑哪个淋雨更少?

华语天空

引言

在遇到下雨天却没有带伞的情况下，大部分人会面临一个抉择：是快速奔跑还是慢慢走？有人认为，快速奔跑会使人体在雨中停留的时间更短，从而少淋一些雨；而另一些人则认为，快速奔跑会让雨水迎面扑来，导致身体在短时间内淋更多的雨。

针对“雨中慢走和快跑到底哪个淋雨量更少”这个问题，美国科普电视节目《流言终结者》曾做过两次实验。第一次实验时，他们用的是人造雨，让主持人分别采用奔跑和走路的方式通过一段 30 米的距离，然后测量外衣增加的重量（图 2）。

结果发现：在一段距离内，奔跑比走路淋得更湿。但节目播出后，粉丝不太认同这个结果。因为大家觉得这个实验存在很多问题，首先人造雨与自然雨不一样，再加上距离较短，降低了时间变量的影响，所以产生了这个不合常理的结果。

为此，节目组又进行了第二次实验。这次他们选择了在下雨天进行三次重复测试，并增加了奔跑和走路的距离（图 3）。新的实验结果推翻了之前的结论：还是跑起来淋的雨更少一些。
问题

在雨中行进相同的距离时，慢走和快跑哪个淋雨量更少？请建立模型回答该问题，并讨论风对模型的影响。模型需要考虑如下具体场景：在降雨量为 20 毫米/小时的雨中，行人以不同速度前进 1 千米距离，计算行人的淋雨量。
模型

为了解决上述问题，本文首先对问题做一些简化，并对涉及的变量进行定义。

如图 4 所示，将雨中的行人简化为一个长方体，其尺寸为  a = 0.5 m（宽）、 h = 1.5 m（高）、 b = 0.3 m（厚），相应的顶面面积  AT = a × b = 0.15 m，前侧面面积  AF = a × h = 0.75 m[1]。假设人在雨中以匀速直线行进，其速度为 ，行进的距离为 S  = 1000 m。由于重力和空气阻力的作用，通常雨滴在落地前就已经达到终极速度。假设近地面雨滴竖直下落的速度为 u = 9 m/s[2]，降雨量 p = 20 mm/hr = 5.6e-6 m/s 在时间和空间上都是均匀的，降雨密度（单位体积内的雨水质量）ρ 可由降雨量 p 导出：

其中 1000 kg/m^3 为水的密度。上式关系很容易推导：1 s 时间降到地面 1 m 面积上的雨水体积可表示为 p × 1 s × 1 m^2，而 1 s 时间降到地面 1 m 面积上的雨水质量又可表示为 ρu  × 1 s  × 1 m^2。
此外，对于有风的情况，本文在接下来的模型中仅考虑风向与行进速度方向平行的情况，并假设近地面时雨滴会具有与风速相同的水平速度 。
没风

在没有风的情况下（w=0），如果人站在雨中不动，只有顶面才会淋到雨。如果人在雨中行进，雨滴不仅会淋湿人的顶面，还会淋湿人的前侧面。

如果以雨滴为参考系，人的速度是斜向上的。由于雨在空间上是均匀分布的，因此淋雨量可以用人的顶面和前侧面在雨中扫过的体积去计算（图 5 和 6）[3]。无论人以多大速度行进，雨在竖直方向上相对于人的速度都是 u，单位时间内顶面相对于雨滴扫过的体积为 AT u。雨在水平方向上相对于人的速度为 v，单位时间内前侧面相对于雨滴扫过的体积为 AF v。

由于人在雨中行进的距离 S 是一定的，则人在雨中行进的时间取决于行进速度：

在时间 t 内，顶面在雨中扫过的区域为蓝色斜棱柱（图 5 和 6），斜棱柱的底面积为 AT，高为 ut。因此，顶面淋雨量为

前侧面在雨中扫过的区域为红色斜棱柱（图 5 和 6），斜棱柱的底面积为 AF，高为 vt。因此，前侧面淋雨量为

综上，人在雨中行进距离 S 的总淋雨量为

上式表明，前侧面淋雨为常数，而顶面淋雨量与速度成反比。从图 5 和 6 中也不难看出，慢走和快跑时前侧面在雨中扫过的红色斜棱柱体积都为 AF S。但行进速度越快，顶面扫过的蓝色斜棱柱体积  AT S u/v 就越小。因此，如果人在雨中行进的距离一定时，快跑的淋雨量要比慢走少。

将雨滴竖直下落速度 u = 9 m/s，降雨密度 ρ = 6.2e-4 kg/m^3，AT = 0.15 m，AF = 0.75 m，Ｓ = 1000 m 代入总淋雨量的表达式得

相应的函数图像如图 7 所示。从图中可见，行进速度越大，淋的雨越少。但无论速度大到何种程度，淋雨量都不会小于 0.463 kg。而且当速度大于 3 m/s 时，总淋雨量就已经降低到 0.74 kg，此后继续增加速度并不能显著减少淋雨量。即使将奔跑速度提高到 10 m/s，总淋雨量也只能再降低 0.2 kg。
有风

在有风的情况下（w ≠ 0），雨在竖直方向上相对于人的速度仍然是 u，顶面淋雨量与无风情况相同。但雨在水平方向上相对于人的速度会变为  v - w，其中 w 为风速。单位时间内前侧面相对于雨滴扫过的体积变为 AF (v - w)，相应的淋雨量将变为

从上式不难看出：如果风是从后方吹来（w 大于 0），前侧面的淋雨量将减小；如果风是从前方吹来（ w 小于 0），前侧面的淋雨量将增大。需要注意的是，上式假定了风速 w 是小于行进速度 v 的。如果风速大于行进速度（w 大于 v），上式将变为负值。这种情况下，雨不再从前方袭来，而是从后方袭来。淋湿的也不再是前侧面，而是后侧面。后侧面的淋雨量为

无论风速是否大于人的行进速度，总淋雨量都可以表示为[4]

其中 QF/B 表示前侧面或后侧面的淋雨量。如果 w = 0，则上式退化为无风的情况。如果行进速度与风速相等（v = w），上式右侧第二项将变为零，即侧面不再被淋雨。因此，在一定的风速下，可能存在最佳行进速度，使总淋雨量最小。
为了确定可能存在的最佳行进速度，将总淋雨量的表达式改写成分段函数形式：

当  v ≤ w 时，Q(v) 为减函数。当 v 大于 w 时，Q(v) 的增减性取决于 AT u  - AF w 的正负。若记临界风速为

则  AT u - AF w 的正负取决于风速 w 是否大于临界风速 w0。因此，Q(v) 在 v 大于 w 时的增减性可具体分以下三种情况：
1. 若 w 小于 w0，为减函数，该情况下，行进速度越大，总淋雨量越小。
2. 若 w 等于 w0，为常值函数。该情况下，只要行进速度大于风速，总淋雨量就不再变化。
3. 若 w 大于 w0，为增函数。该情况下，行进速度等于风速时，总淋雨量最小。
以上分析告诉我们，逆风（w 小于 0）时总是跑得越快淋雨量越少。但顺风（w 大于 0）时，是不是应该快跑，该以多大速度跑取决于风速。
将雨滴竖直下落速度 u = 9 m/s，降雨密度 ρ = 6.2e-4 kg/m^3，AT = 0.15 m，AF = 0.75 m，Ｓ = 1000 m 代入总淋雨量和临界风速的表达式可得

图 8 显示的是上式中的 Q(v) 在不同 w 取值情况下的函数图像。对于逆风情况（例如 w = -3 m/s），总淋雨量随着行进速度的增加而减小。对于顺风且风速 w 小于 1.8 m/s 的情况，总淋雨量同样随着行进速度的增加而减小。对于顺风且风速 w = 1.8 m/s 的情况，当行进速度大于风速时，总淋雨量将保持不变。对于顺风且风速 w 大于 1.8 m/s 的情况（例如 w = 3 m/s），当行进速度等于风速时，总淋雨量最小。

生活经验告诉我们，在绝大多数情况下，下雨时的风速都比 1.8 m/s 大。因此，当遇到刮风的雨天时，若为逆风而行，则应选择快速奔跑；而若为顺风而行，则可采用与风速相等的速度前进。
结论

针对问题“在雨中，慢走和快跑到底哪种方式能够让淋雨量更少？”，本文运用数学模型进行了分析，研究了行进速度对淋雨量的影响。研究结果显示，在没有风的情况下，不论是慢走还是快跑，都会导致前侧面淋雨，但快跑时顶面的淋雨量会减少，因此总的淋雨量较少。然而，当行进速度超过约 3 m/s 时，淋雨量就已趋于稳定，进一步提高速度不会显著减少淋雨量。
在有风的情况下，如果是逆风前进，选择较快的奔跑速度有助于减少总体淋雨量。而在顺风的情况下，如果风速小于 1.8 m/s，同样选择较快的奔跑速度是明智的选择；而如果风速超过 1.8 m/s，与风速相等的速度行进可以将淋雨量降至最低。
综合考虑实际情况，本文对雨中的行人给出如下建议：对于无风或逆风情况，选择快速奔跑可以减少淋雨量；对于顺风而行，绝大部分情况下选择与风速相近的速度前进都是一个不错的选择。
参考资料

[1] Jeff Sanny William Moebs, Samuel J. Ling. Drag force and terminal speed, 2022: https://pressbooks.online.ucf.edu/osuniversityphysics/chapter/6-4-drag-force-and-terminal-speed
[2] Union University. What is the speed of falling raindrops?, 2001: https://www.uu.edu/dept/physics/scienceguys/2001Mar.cfm
[3] Bec Crew. Is it better to walk or run in the rain?, 2015: https://www.sciencealert.com/watch-is-it-better-to-walk-or-run-in-the-rain
[4] Alex J DeCaria. Will you get wetter if you run rather than walk in the rain?, 2016: https://snowball.millersville.edu/~adecaria/DERIVATIONS/Rain.pdf

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理论指导实践

逍遥昱昕

感谢分享！

ygdlrk

看看

kun5191

精品文章，优秀！

ruiwen

不管你信不信，反正我是信了。

蓝色天气

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这是真的闲。。。

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风狂牛

写的不错。{:2_378:}